Fizyka drgań strun i wpływ budowy fortepianu na powszechną akceptację stroju równomiernie temperowanego

Wystąpienie Janusza Starzyka podczas II Ogólnopolskiej Konferencji Instrumentologicznej na temat drgań struny oczami fizyka i muzyka oraz ewolucja fortepianu, a akceptowalność stroju równomiernie temperowanego.

Już Pitagoras żyjący pięćset lat przed naszą erą badał drgania strun i współbrzmienia dźwięków. Opisywał dźwięki i ich współbrzmienie za pomocą matematyki. Do swoich badań używał monochordu dzieląc strunę na części. Stwierdził, że muzyczne interwały można przedstawić za pomocą prostych stosunków liczbowych  i tak pryma to 1:1, oktawa tp 2:1, kwinta 3:2, kwarta 4:3  itd. Już w tamtym czasie uznawano za doskonały interwał  oktawy i kwinty.

Badania Pitagorasa zdefiniowały podział oktawy na 12 części, gdyż 12 kwint mieści się w 7 oktawach, co prawda niezbyt dokładnie, ale prawie. Tę różnicę nazywamy komatem pitagorejskim. Przez wiele stuleci instrumenty dostrajano w ten sposób, że prawie wszystkie kwinty strojono akustycznie czysto, a jedną zostawiano „jak wyjdzie”, nazywaną „wilczą kwintą”.

Dopiero od XVII wieku zaczęły się badania nad fizyczną stroną dźwięku. Zajmowali się tym wielcy naukowcy jak Newton,  Yuang, Fourier i wielu innych. To im zawdzięczamy odkrycie, że dźwięk to cykliczna zmiana ciśnienia, że dźwięk ma charakter fali i każdy przebieg takiej fali akustycznej można rozłożyć na drgania sinusoidalne o częstotliwości wielokrotnej tonu podstawowego.

Wzór częstotliwości harmonicznej

Wiek XVIII to dalsze badania dźwięków i mechanizmu słyszenia, a także ogromny rozkwit budowy instrumentów. Drgająca struna doczekała się bardzo dokładnych badań. Dźwięki i interwały rozłożono na czynniki pierwsze, czyli harmoniczne. Szeregiem harmonicznym nazywają fizycy kolejne składowe sinusoidalne o częstotliwości podstawowej pomnożonej przez liczbę całkowitą. Taki szereg harmoniczny można przedstawić w formie wzoru, wykresu natężenia dźwięku w czasie,

Harmoniczne w czasie

albo wykresu natężenia w zależności od częstotliwości (często nazywanym wykresem widmowym)

Wykres widmowy dźwięku

Ten szereg harmoniczny muzycy nazywają alikwotami i żeby było ciekawiej, to pierwsza alikwota jest drugą harmoniczną.

Muzycy grający na instrumentach strunowych wydobywają tony alikwotowe przy pomocy flażoletów, a grający na instrumentach dętych wydobywają wyższe alikwoty metodą „przedęcia”. Jeśli w dwóch dźwiękach niektóre harmoniczne są takie same, to uznajemy je za miłe dla ucha i  im więcej mamy tych zgodnych harmonicznych, tym są one bardziej konsonansowe. Niestety kwinty nie mieszczą się w oktawach, tercje nie zamykają kwint, ani oktaw, nie mówiąc już o septymach i nonach.

Instrumenty klawiszowe muszą być nastrojone w taki sposób, aby nie było potrzeby przestrajać ich w trakcie gry, dlatego trzeba podzielić oktawę na tyle części ile jest klawiszy. 12 klawiszy w oktawie mamy od Pitagorasa, jednak dla lepszego strojenia interwału tercji wielkiej byłby lepszy podział na 19 klawiszy tak jak ta klawiatura na zdjęciu, a dla idealnego stroju potrzeba nawet 55 klawiszy.

Klawiatura łamana
Klawiatura łamana

Starano się budować jak najmniej skomplikowane instrumenty. Już 12 klawiszy w oktawie było wystarczająco dużo. Strojono je w taki sposób, aby często używane akordy brzmiały dobrze. Nie pozwalało to na grę we wszystkich tonacjach, ale każda tonacja brzmiała odmiennie. Do końca XIX wieku opisano i stosowano ponad 150 różnych odmian temperacji strojów. Szczegółowo zostały opisane między innymi w książce „Dawne temperacje” Profesora Marka Toporowskiego.

W  XVIII i XIX wieku intensywnie pracowano nad budową fortepianów. Pierwsze fortepiany, tak jak klawesyny, miały cienkie metalowe struny o niewielkiej sile naciągu, jednak ich dźwięk był cichszy w porównaniu z klawesynem.

Możliwość płynnej zmiany dynamiki gry okazała się na tyle atrakcyjna, że nowym instrumentem zainteresował się świat muzyczny. Rosnąca popularność spowodowała udoskonalenie brzmienia. Dla zwiększenia głośności stosowano grubsze struny o większej sile naciągu, oraz zwielokrotniono struny w chórach. Dla poprawy barwy dźwięku drewniane młotki oklejano warstwami skóry i filcem.

Popularność fortepianu nie spowodowała zwiększenia zainteresowania się różnymi temperacjami strojenia. Nie przyjął się fortepian z klawiaturą łamaną, ani fortepian ćwierćtonowy, za to większość stroicieli zaczęło stosować strój równomiernie temperowany.

Dlaczego strój równomiernie temperowany zdobywa popularność? Przyjrzyjmy się drganiom struny okiem fizyka. Struna jest to długi sprężysty materiał zamocowany na obydwu końcach poddany siłom rozciągającym. W strunie, która została odchylona od stanu spoczynkowego i zwolniona powstają drgania poprzeczne w postaci fali stojącej, a ich częstotliwość zależy od masy struny i siły naciągu.

Harmoniczne

Do początku XIX wieku wzorcem dźwięków były organy, ale później to fortepian był uznawany za wzór. Do czasu gdy O.L. Railsback w latach 1935-39 przy pomocy chromatycznego stroboskopu własnej konstrukcji wykonał pomiary częstotliwości dźwięków każdego klawisza fortepianu. W ten sposób zbadał 16 fortepianów i 12 pianin różnych marek i strojonych przez różnych stroicieli. Wyniki pokazał na wykresie krzywej strojenia, którą nazwano jego nazwiskiem.

Badania te wykazały, że w dobrze nastrojonym fortepianie oktawy są szersze niż wynikałoby to z obliczeń. Zjawisko badane przez Railsback’a wynika ze specyfiki drgań struny i nazywa się nieharmonicznością (inharmonią).

Następnym zjawiskiem występującym w strunach, jest ich „fałszywe” brzmienie. Objawia się ono słyszalnym dudnieniem podczas drgania tylko jednej struny. Jest wiele przyczyn tego zjawiska, najczęściej jest to  niejednorodne rozłożenie masy struny na całej jej długości i w efekcie wyższe harmoniczne nie są idealnie takie same. Wyraźne dudnienia fałszywych strun potrafią skutecznie zatruć przyjemność pracy stroiciela.

Ponadto zestrojenie trzech strun w chórach zwykle nie jest idealne. Nawet wskazane są minimalne rozbieżności. Zjawisko odstrojenia  strun powoduje słyszalne wahania głośności – czyli dudnienie, ale też powoduje „pływanie” częstotliwości wypadkowej.

Innym zjawiskiem jest niestabilność częstotliwości w czasie. Uderzona struna w pierwszym momencie gra z wyższą częstotliwością niż później podczas wybrzmiewania.

Te wszystkie zjawiska powodują minimalne zmiany częstotliwości i głośności w czasie gry „zamazując” niedokładności strojenia wynikające z temperacji.

Miejsce uderzenia młotka w strunę dobrano tak, aby minimalizować  wybrzmiewanie 7 i 9 składowej harmonicznej. Dlatego akceptujemy interwał septymy i nony, mimo sporych odchyłek od czystej harmonii.

Wróćmy jeszcze do zjawiska nieharmoniczności drgań struny.

Inharmonia

W rzeczywistych strunach, które mają właściwie kształt walca, zachodzi zjawisko skracania fal harmonicznych, gdyż węzeł fali nie jest punktem, tylko przynajmniej kulą o średnicy struny. Im sztywniejsza struna, tym to martwe pole jest dłuższe, a tym samym skraca się długość fali – czyli wzrasta częstotliwość.

Inharmonii nie usłyszymy, to zjawisko uchwycimy tylko podczas pomiarów i stąd wiele nieścisłości, uproszczeń i błędnych wniosków wśród społeczeństwa muzycznego.

To zjawisko powoduje, że struna nastrojona akustycznie czysto oktawę wyżej, drga z częstotliwością wyższą niż dwa razy. Akustycznie słyszymy, że oktawa jest czysta, a pomiary wykazują, że jest rozciągnięta.

Trzecia harmoniczna – odpowiadająca za interwał kwinty jest również wyższa niż wynikałoby to z prostego mnożenia przez trzy.

Budowniczowie fortepianów metodą prób i błędów tak dobierali grubość strun, że zjawisko nieharmoniczności zminimalizowało „ niedomykanie się” koła kwintowego.

Matematyczna wielkość siedmiu oktaw:
f*2^7=f* 128
dwanaście kwint to f*(3/2)^12 = 129,746.
Różnica mnożników to komat pitagorejski.
Teraz obliczenia przy uwzględnieniu nieharmoniczności. Przyjąłem wskaźniki uśrednione dla całej skali fortepianu.
Oktawy  f* 2,01^7 = 132,54776
Kwinty f*(3,02/2,01)^12= 132,352

To w fortepianie spełnił się sen Pitagorasa, udało się zmieścić 12 czystych kwint w 7 czystych oktawach! Reszta interwałów i tak nie wyjdzie czysta, więc najwygodniej błędy  podzielić po równo.

Wystąpienie Janusza Starzyka ze Stowarzyszenia Polskich Stroicieli Fortepianów podczas II Ogólnopolskiej Konferencji Instrumentologicznej, Pałac Ostromecko, 16-18 września 2018 roku.

Janusz Starzyk, ur. w 1960, technik elektronik, od 1985 r. stroiciel fortepianów i pianin. Dyplom mistrzowski w rzemiośle budowy i naprawy instrumentów fortepianowych otrzymał w 2002 r. Od 1989 roku prowadzi własną działalność gospodarczą. Członek Stowarzyszenia Polskich Stroicieli Fortepianów.